La convergence des intégrales doit être établie en 0 à droite où le logarithme népérien admet une limite infinie. Ensuite les questions 2 et 3 se traitent à l’aide d’intégrations par parties qui permettent de s’affranchir du logarithme népérien, l’obtention des valeurs des intégrales ne nécessitant que la connaissance d’une limite classique.

 

 

 

1.      Posons, pour tout entier naturel n non nul :

 

 

 

La fonction  est définie pour tout t de  et on a :

 

 

La borne «  » ne pose donc pas de problème.

 

Par ailleurs, on a : .

Enfin : .

 

Pour tout entier naturel n non nul, la fonction  garde ainsi un signe constant sur l’intervalle  (elle y est strictement négative).

Or, on a au voisinage de 0 à droite : . On en déduit, en tenant compte de  : . Les intégrales  et  sont donc de même nature.

 

Or l’intégrale  converge (pour rappel : pour tout a dans , on a :  qui tend vers  quand a tend vers 0 par valeurs strictement positives). On en déduit finalement la convergence de .

 

 

 

2.      Soit n un entier naturel non nul et soit a dans .

Considérons alors : .

On a immédiatement :

 

 

 

Nous pouvons procéder à une intégration par parties :

 

 

 

 

On a :

 

 

 

Il vient donc :

 

 

 

Il vient alors :

 

 

 

On doit donc déterminer : .

On a immédiatement : .

Par ailleurs : .

D’où : .

 

Finalement : .

Or, les deux intégrales considérées étant définies :

 

 

Il vient, en définitive : .

 

 

 

3.      De la question précédente, on tire, par une récurrence immédiate : .

 

Il nous faut donc calculer ici : .

 

Nous procédons de façon similaire à ce qui a été fait à la question précédente en considérant pour a dans  :  et en effectuant une intégration par parties :

 

 

 

On a immédiatement :  et .

Par ailleurs :  (cf. la question 2.).

Il vient donc : .

 

On a donc : , soit, finalement :