Il n’y a pas de problème de convergence en , la fonction  admettant une limite finie en cette borne. Le calcul se fait sur un intervalle de la forme  (avec  ) et s’achève par passage à la limite.

 

 

 

La borne 0 ne pose pas de problème, la fonction  y prenant la valeur 0.

Ensuite, on a : . Il y a donc convergence.

 

Pour tout A dans , on considère alors : .

 

L’expression  est invariante par le changement de variable . On peut donc (règle de Bioche) effectuer le changement de variable : .

On a alors : . Soit : .

D’où, en tenant compte de :  et  :

 

 

 

Nous avons donc affaire à une calcul d’intégrale d’une fonction rationnelle sur un segment. Nous allons décomposer en éléments simples la fonction : .

 

On a : .

 

On a d’abord : .

D’où : .

 

On peut ensuite considérer la fonction :

 

 

 

Pour , il vient alors : , soit : .

 

L’égalité obtenue précédemment nous donne alors : , soit : .

 

Pour calculer , nous pouvons alors prendre une valeur simple de u comme 0 par exemple. On obtient : , soit : .

 

Finalement :

 

 

 

Alors :

 

 

 

On cherche maintenant :  

 

On a immédiatement : .

On en déduit : .

Donc :

 

 

 

Finalement :