Il n’y a pas de problème de convergence en , la fonction  s’annulant pour cette valeur. En 0, on obtient un équivalent simple qui permet de conclure. Le calcul se fait sur un intervalle de la forme  (avec  ) et, par passage à la limite, se ramène à un calcul d’une intégrale définie.

 

 

 

On a classiquement  (rappelons qu’au voisinage de 0, on a :  et  ) et .

D’où :  et il y a donc convergence en 0.

 

Soit alors un réel A dans . Posons : .

 

On peut procéder à une intégration par parties :

• De
  
   on tire
  
   ;
• Avec
  
   on peut prendre
  
  .

 

Il vient alors :

 

 

 

On a : . D’où :

 

 

 

L’expression  est invariante par le changement de variable , on pose donc (règle de Bioche) :  et il vient : . Alors :

 

 

 

Finalement : .