Il n’y a pas de problème de convergence en 0, la fonction  s’annulant pour cette valeur. Un certain changement de variable nous conduit cependant à considérer l’intégrale définie :  avec .

 

 

 

 

Nous considérons donc l’intégrale :  avec .

 

On effectue alors le changement de variable :  qui donne, puisque nous travaillons sur un intervalle où u ne s’annule pas : .

Il vient alors :

 

 

 

Procédons à une intégration par parties :

 

 donne  

 

 est donné, par exemple, par  

 

On a alors :

 

 

 

On a alors :

 

• D’une part :
  
   ;
• D’autre part :
  
  . Comme
  
   existe (intégrale de Riemann convergente), on en déduit que
  
   existe.

 

En définitive, .

 

Par ailleurs  existe comme intégrale d’une fonction continue sur un segment.

 

On en déduit finalement que  existe.