On prendra garde de ne pas manipuler sans vergogne l’intégrande alors que l’on ne connaît pas la nature de l’intégrale (c’est ce que l’on cherche !). On travaille donc avec une intégrale définie.

 

 

 

 

La borne  ne pose pas de problème, la fonction  étant définie et continue sur l’intervalle  (note : elle prend en  la valeur  ).

 

Soit maintenant A un réel strictement supérieur à . On considère l’intégrale définie : .

 

On remarque que la fonction :  est la dérivée de la fonction : .

 

On a donc :

 

 

 

Il vient alors :

 

 

 

L’intégrale considérée est donc divergente.

 

 

La démarche ci-dessus peut être présentée sous une autre forme en considérant le changement de variable :  qui est bijectif de  dans . Dans ces conditions, on a : ,  et .

 

Il vient alors :

 

 

 

On a :  et, de fait :

 

 

 

 

On retrouve le résultat précédent.