On commence par étudier le comportement de la fonction  au voisinage des bornes de l’intégrale. Au voisinage de , on a un équivalent simple de la fonction dont on peut facilement étudier l’intégrale.

 

 

 

 

On a immédiatement, pour toute valeur du réel α : .

Par ailleurs, on a la limite classique : .

D’où : .

La borne 0 ne pose donc pas de problème et on peut raisonner sur un intervalle où la fonction  est définie et positive, par exemple : .

 

Pour tout réel α, on a : , d’où : .

Les intégrales  et  sont de même nature. On va donc s’intéresser à l’intégrale : .

Pour , on a :  et l’intégrale  diverge grossièrement.

Supposons donc désormais : .

On effectue le changement de variable  (qui donne  ) et il vient :

 

 

On peut alors facilement conclure selon que le coefficient  dans l’argument de l’exponentiel est négatif ou strictement positif :

 

·        Si , alors on a :  et l’intégrale  diverge grossièrement. Il en va de même pour l’intégrale .

·        Si , on a alors . En effet, en utilisant les croissances comparées, on a :

 

On en déduit alors que l’intégrale  converge et qu’il en va de même pour l’intégrale .

 

En définitive, l’intégrale  existe si, et seulement si, on a : .