Un exercice qui associe analyse (intégrales généralisées) et algèbre linéaire (applications linéaires). L’existence des intégrales, et donc de l’application , ne pose pas de difficulté particulière, la comparaison exponentielle-polynôme étant un grand classique. La seconde question fait appel à une propriété fondamentale de l’intégrale …

 

 

 

 

Question 1

 

Pour établir l’existence de , il convient de montrer que pour tout polynôme P dans , on peut effectivement calculer les  réels .

 

Une fonction polynôme étant une combinaison linéaire de monômes, il suffit ici de montrer que l’intégrale  existe pour tout entier naturel m.

 

Sur l’intervalle , la fonction  prend des valeurs positives.

Cette fonction s’annule en 0. L’étude de l’existence de cette intégrale nous conduit donc à étudier le comportement de la fonction  au voisinage de .

 

Pour tout entier naturel m, on a (croissances comparées) :

 

 

On en déduit :  au voisinage de .

Comme l’intégrale  est convergente, il en va de même pour l’intégrale .

 

Soit maintenant la fonction polynôme P de degré n définie par :

 

 

Soit alors k un entier naturel quelconque dans .

Pour tout entier naturel i dans , on peut affirmer, d’après le résultat précédent, que l’intégrale  existe. Il en va donc de même de :

 

 

En définitive, pour tout polynôme P dans  et tout entier naturel k dans , le réel  existe. Ainsi,  existe.

 

 

 

Question 2.

 

La linéarité de l’application  découle directement de celle de l’intégrale :

 

 

Les espaces vectoriels  et  étant tous deux de même dimension finie (égale à  ), pour montrer que l’application  est bijective, il suffit de montrer qu’elle est injective. On va donc s’intéresser à .

 

On a : .

 

Supposons donc que l’on ait : , soit : .

 

Posons encore : .

On a alors :

 

 

La fonction  est clairement positive sur  et continue sur ce même intervalle comme produit de deux fonctions continues sur . Elle est donc positive et continue sur .

La nullité de l’intégrale  nous permet alors de conclure que cette fonction est nulle. Mais l’exponentielle ne s’annulant pas, on en tire , puis .

Le noyau de l’application  étant réduit au polynôme nul (c'est-à-dire au vecteur nul de  ), on en conclut que  est injective et, finalement, qu’elle est bijective.