Un exercice d’entraînement assez simple qui permet de mettre en place des connaissances fondamentales du cours : utilisation d’un équivalent pour l’existence et d’un changement de variable pour le calcul.

 

 

 

 

Notons immédiatement que l’on a : .

La borne inférieure, 1, ne pose pas de problème, la fonction f y étant définie.

 

Par ailleurs, on a facilement : . L’intégrale considérée est donc de même nature que . Cette dernière intégrale est convergente (intégrale de Riemann et  ).

Finalement :

 

 

 

On récrivant : , on est conduit à envisager le changement de variable : «  », c'est-à-dire :  (l’application  étant bien bijective de classe  (de  dans lui-même d’ailleurs)).

En différenciant , on obtient :  et donc :

 

 

En tenant compte de ce qui précède, il vient :

 

 

On a facilement la décomposition en éléments simples :

 

 

La fonction  admet pour primitive sur l’intervalle  la fonction .

Soit alors A un réel strictement supérieur à 1. On a :

 

 

D’où :

 

 

Finalement :