Un exercice d’entraînement où il convient d’être soigneux au niveau des justifications. Seule la borne 0 « pose problème » mais un équivalent simple permet de conclure. Le calcul proprement dit est surtout affaire de changements de variable !

 

 

 

 

La borne  ne pose pas de problème puisque l’on a : .

En revanche, la fonction  n’est pas définie en 0 et y admet une limite infinie (à droite) : .

Par ailleurs, on a : . La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur , on en déduit : .

La fonction  garde donc un signe constant sur l’intervalle  

 

On a classiquement :  et comme , on en déduit :

 

 

Remarque : on peut facilement retrouver cette équivalence. Pour tout réel x de l’intervalle , on a :

 

 

Comme : , il vient : . Par ailleurs, on a : .

D’où :  et, finalement : .

 

 

On a . Or l’intégrale  existe (la fonction , primitive de la fonction logarithme népérien, admettant une limite finie en 0 à droite). On en déduit finalement :

 

 

 

Introduisons : .

En raisonnant de façon similaire à ce qui a été fait ci-dessus, on établit l’existence de cette intégrale (on aura été conduit à poser :  ).

On effectue alors le changement de variable :  (  ) et on a :

 

 

On a alors :

 

 

Pour le calcul de l’intégrale : , on effectue le changement de variable :  (  ) :

 

 

Pour le calcul de l’intégrale : , on effectue le changement de variable :  (  ) :

 

 

On a donc : .

 

Finalement : . D’où :