Soit la parabole d’équation
.
Soit A et B les points de d’abscisses respectives a et b (
).
Calculer la longueur de
l’arc .
Analyse
On obtient facilement l’intégrale permettant d’effectuer le calcul.
Résolution
On paramètre la parabole comme suit :
Il vient alors :
En notant la longueur de l’arc
,
il vient alors :
On effectue d’abord le changement de variable : qui donne :
.
Il vient :
On peut alors linéariser : et on obtient :
Résultat final
Pour la parabole
d’équation ,
la longueur
de l’arc
entre les points A et B d’abscisses
respectives a et b (
) est égale à :