Soit la courbe d’équation
dans un repère orthonormal.
Soit A et B les points de d’abscisses respectives a et b (
).
Calculer la longueur de
l’arc .
Analyse
On obtient facilement l’intégrale permettant d’effectuer le calcul.
Résolution
On paramètre la parabole comme suit :
Il vient alors :
En notant la longueur de l’arc
,
il vient alors :
On peut alors effectuer le changement de variable : qui donne :
et
.
D’où :
.
Il vient alors :
On obtient la décomposition en éléments simples de la
fonction : en notant :
·
qu’elle admet deux pôles simples (
et 1).
· qu’elle est paire.
· qu’elle s’annule en 0.
Il en résulte que l’on a : .
En tenant compte de : ,
on a facilement :
Mais on a aussi : .
D’où : et
.
Alors, en tenant compte de :
Résultat final
Pour la courbe d’équation ,
la longueur
de l’arc
entre les points A et B d’abscisses
respectives a et b (
) est égale à :