La fraction rationnelle est irréductible (pas de polynôme facteur commun du numérateur et du dénominateur). Le dénominateur de la fraction rationnelle F admet trois racines : 0, -1 et 1.

0 est un pôle simple de F tandis que 1 et 1 sont des pôles d’ordre 2.

 

La décomposition en éléments simples va donc s’écrire :

 

 

 

 

 

 

La détermination des constantes A, B, C, D et E ne pose pas de problème particulier. Elle se trouve néanmoins simplifiée si l’on remarque que la fraction F est une fonction impaire sur son ensemble de définition .

 

On doit donc avoir, en utilisant la décomposition en éléments simples :

 

 

 

D’où :

 

 

 

On constate ainsi qu’il ne faut en fait déterminer que trois constantes : A, B et C.

 

Pour déterminer A, nous pouvons considérer le produit : .

 

On a :  

 

On a alors immédiatement :  

 

 

 

Toujours en utilisant la fraction rationnelle G, on peut considérer :  

 

On a d’une part :  

 

Mais on a, d’autre part :

 

 

 

D’où : , soit  

 

 

 

Pour l’instant, nous avons :

 

 

 

On peut alors considérer la fraction rationnelle :  

 

On a simplement :