La fraction rationnelle comporte un numérateur dont le degré est strictement supérieur à celui du dénominateur. On devra donc commencer par effectuer une division polynomiale.

 

Pour ce qui est du dénominateur, on vérifie assez rapidement que 2 en est racine. Ce sera le point de départ du travail de factorisation.

 

 

 

 

On commence donc par la division polynomiale du numérateur par le dénominateur :

 

 

 

La fraction rationnelle se récrit donc :

 

 

 

On doit maintenant décomposer en éléments simples la fraction : .

 

On commence par en factoriser le dénominateur dont on a noté que 2 était racine. Il vient donc :

 

 

 

Par identification, on obtient :  et . On a alors :

 

 

 

Pour ce qui est de factoriser le polynôme , on peut rechercher des racines simples et trouver que 2 en est une.

Mais on peut également noter la forme particulière des coefficients et écrire :

 

 

 

Les facteurs obtenus sont irréductibles et finalement, le polynôme S se factorise comme suit :

 

 

 

La décomposition de la fraction rationnelle S est donc de la forme :

 

 

 

On peut simplifier cette écriture en notant que S est une fonction paire puisqu’elle ne comporte que des monômes de degré pair. On doit donc avoir,  désignant l’ensemble de définition de S :

 

 

 

La décomposition de S s’écrit donc :

 

 

 

Il ne faut en fait déterminer que deux constantes : A et D.

 

A s’obtient facilement en considérant : .

 

On a d’une part :  et donc  

Mais on a aussi :  et donc .

 

D’où :  

 

Pour déterminer D, on peut considérer : .

On a :  et donc .

 

Mais on a également : . D’où :

 

 

On en déduit : . Soit .

 

Finalement :