La fraction rationnelle comporte un numérateur dont le degré est strictement supérieur à celui du dénominateur. On devra donc commencer par effectuer une division polynomiale.

 

Pour ce qui est du dénominateur, on devra le factoriser.

 

 

 

 

On commence donc par la division polynomiale du numérateur par le dénominateur :

 

 

 

La fraction rationnelle se récrit donc :

 

 

 

On doit maintenant décomposer en éléments simples la fraction : .

 

On commence par en factoriser le dénominateur en notant que  est « proche » de  :

 

 

 

On a donc :

 

 

Les polynômes  et  n’admettant pas de racine réelle, la fraction rationnelle S n’admet pas de pôles réels et sa décomposition en éléments simples est de la forme :

 

 

 

Cette expression peut être simplifiée si l’on remarque que S est une fonction paire (elle ne comporte que des monômes de degré pair). On a donc :

 

 

 

On a donc : . Il nous suffit donc de déterminer A et B.

 

On a : . D’où :  et .

 

En réduisant au même dénominateur et en identifiant avec la forme initiale de S, on obtient facilement :  

On a donc :