Les pôles de cette fraction sont réels (1 et 2), la décomposition s’écrira donc :

 

 

 

 

Pour le calcul des cinq constantes, nous proposons deux méthodes, la seconde faisant appel à la division polynomiale suivant les puissances croissantes.

 

 

 

 

Première méthode

 

On détermine simplement les numérateurs des fractions de plus haut degré comme suit :

 

Pour déterminer C, on multiplie F par le polynôme . On obtient :

 

 

 

Pour , on obtient immédiatement :  

 

De façon analogue, en multipliant F par le polynôme , on obtient :

 

 

 

Pour , on obtient alors :  

 

Il nous reste à déterminer les constantes A, B et D.

 

On peut utiliser le fait que l’on a simplement : .

Or, la décomposition en éléments simples (E) nous donne : .

 

On dispose ainsi d’une première relation :  

 

Etant donné que les exposants et les constantes des polynômes du dénominateur de la fraction F ne sont pas élevés, on peut obtenir d’autres relations en choisissant des valeurs simples de x :

 

Pour , on a  

 

Avec les valeurs de C et E précédemment obtenues, il vient :  

 

Soit :  

 

De façon analogue, pour , on obtient :

 

 

Soit :  

 

Finalement, nous disposons des trois égalités suivantes :

 

 

 

La première égalité permet de transformer les deux autres qui se récrivent comme suit :

 

 

 

 

On en tire facilement :  et . La première égalité du système précédent fournit enfin :  et la décomposition en éléments simples de F s’écrit finalement :

 

 

 

 

Seconde méthode

 

On pose d’abord .

 

La fraction se récrit alors :  

 

On divise alors le numérateur, polynôme constant égal à 1, par le polynôme  suivant les puissances croissantes à l’ordre 2 (car l’exposant de h au dénominateur de la fraction F vaut 3) :

 

 

 

où le degré du polynôme S est supérieur ou égal à trois.

 

En identifiant les deux membres de cette égalités, on obtient :

 

 

 

Ce système triangulaire se résout facilement (de la première à la troisième ligne) et on obtient :

 

,  et  

 

 

On a donc :  

 

 

D’où :  

 

Soit, finalement, avec  :  (E₂)

 

En identifiant les égalités (E) et (E₂), il vient :

 

 

,  et  

 

On pose maintenant : . La fraction se récrit alors :  

 

Comme précédemment, on divise alors le numérateur par le polynôme  suivant les puissances croissantes à l’ordre 1 (car l’exposant de h au dénominateur de la fraction F vaut 2) :

 

 

 

où le degré du polynôme S est supérieur ou égal à deux.

 

En identifiant les deux membres de cette égalité, on en déduit :

 

 

c’est à dire :

 

 

 

On a donc :  

 

D’où :  

 

 

Soit finalement, avec ,  (E₁)

 

En identifiant les égalité (E) et (E₁), on en déduit :

 

 

 

On peut désormais écrire l’expression complète de la décomposition en éléments simples de la fraction F :