Les pôles de cette fraction sont réels (0,-1, 2 …, -n), la décomposition s’écrit formellement :

 

 

 

On calcule les  « classiquement » en considérant, pour toutes les valeurs de k, le produit  

 

 

 

 

Soit donc : . On a :

 

 (1)

 

Par ailleurs, on peut aussi écrire, en utilisant la décomposition en éléments simples formelle :

 

 (2)

 

De (1) on tire :

 

 

Par ailleurs, (2) nous fournit simplement : .

 

D’où, finalement :

 

 

 

On peut commenter ce résultat. En effet, en multipliant  par  il vient :

 

 

 

Ainsi, au facteur multiplicatif  près et en faisant attention aux signes, les  ne sont rien d’autre que les coefficients du binôme. A l’aide du triangle de Pascal, on obtient ainsi très rapidement la décomposition en éléments simples !

 

Par exemple, en prenant , on a  et la décomposition s’écrira :

 

 

 

Par ailleurs, en considérant  pour , on démontre rapidement que , c’est à dire : .

 

Finalement :