Calculer la dérivée n-ième de la fraction rationnelle :
où avec
.
Analyse
On commence par effectuer la décomposition en éléments simples de F. On établit ensuite l’expression de la dérivée n-ième de F en utilisant celles d’expressions classiques.
Résolution
La fraction F admet les deux pôles, distincts par
hypothèse, d’ordre de multiplicité égal à 1 : et
.
Sa décomposition en éléments simples s’écrit donc, formellement :
En réduisant au même dénominateur et en identifiant, on obtient :
On a donc :
Pour calculer la dérivée n-ième de F, on utilise alors :
et
Il vient alors :
Résultat final
La
dérivée n-ième de la fonction F définie par : s’écrit :