Calculer la dérivée n-ième de la fraction rationnelle :
où .
Analyse
On commence par effectuer la décomposition en éléments
simples de F sur .
On établit ensuite l’expression de la dérivée n-ième de F en
utilisant celles d’expressions classiques.
Résolution
Le discriminant réduit associé au polynôme s’écrit :
On en déduit immédiatement les deux racines complexes :
et
On a donc :
Il vient alors :
Où α et β sont deux complexes à déterminer.
Pour tout réel x, on a : ,
soit :
Par identification, il vient alors immédiatement (et
classiquement !) : .
La décomposition de F dans est donc de la forme :
Posons alors : .
Il vient :
En choisissant ,
on obtient :
Finalement :
Les dérivées n-ième de et
sont classiques :
et
On a donc :
Occupons spécifiquement de la différence : :
Il vient alors :
Résultat final
La
dérivée n-ième de la fonction F définie sur par :
s’écrit :