Soit A une partie de . A est dite « convexe » si, pour tout et tout de A, le segment est inclus dans A.

C'est-à-dire : .

Soit f une fonction d’un intervalle I de à valeurs dans .

On appelle « épigraphe de f », noté , l’ensemble :

1. Montrer que l’on a :

f convexe convexe

2. En déduire que si f et g sont deux fonctions convexes sur un intervalle I alors la fonction est également convexe sur I.

Analyse

On raisonne par double implication. D’un point de vue graphique, l’épigraphe de la fonction f correspond aux points du plan situés au-dessus de la courbe représentative de f. Le résultat s’interprète alors … naturellement.

La deuxième question est une application directe du résultat obtenu à la première.

Résolution

Question 1.

Nous supposons donc ici que la fonction f est convexe.

Nous considérons alors deux éléments et de l’épigraphe de f et un réel quelconque de l’intervalle . Nous devons établir que appartient à l’épigraphe de f.

On a :

Comme et sont des éléments de l’épigraphe de f, on a : et .

Comme le réel t appartient à l’intervalle , il en va de même de . Ces deux réels sont donc positifs et on a alors :

( et )

Or, la fonction f étant convexe, on a : .

Finalement :

( et )

Le couple est bien un élément de l’épigraphe de f.

On suppose maintenant que l’épigraphe de f est convexe.

Soit x et deux éléments de l’intervalle I et un réel quelconque de l’intervalle .

Les couples et sont deux éléments de l’épigraphe de f puisque l’on a trivialement : et .

On en tire alors, l’épigraphe de f étant convexe, que le couple est encore un élément de l’épigraphe de f.

On a donc, par définition : .

La fonction f est donc convexe.

Question 2.

Considérons maintenant deux fonctions convexes f et g sur un intervalle I de et la fonction .

Nous allons montrer que l’épigraphe de est convexe.

Soit donc et deux éléments de l’épigraphe de et un réel quelconque de l’intervalle . Nous devons établir que appartient à l’épigraphe de .

Comme appartient à l’épigraphe de , on a : , ce qui équivaut à, par définition de la fonction : et .

De façon analogue, on établit : et .

Comme les réels t et sont positifs, les inégalités et nous donnent : et .

On en tire, additionnant membre à membre : .

La fonction f étant convexe sur I, il vient alors :

En procédant de façon analogue avec les inégalités et , on obtient :

et nous donnent :

C'est-à-dire :

L’épigraphe de la fonction est bien convexe. La fonction est convexe sur I.