Soit f une fonction
convexe de dans
.
Soit g la fonction de
dans
définie par :
1. Montrer que la
fonction g est convexe sur ;
2. Traiter le cas
où f est deux fois dérivable sur .
Analyse
A partir d’une fonction f convexe sur ,
on construit simplement une fonction g également convexe sur
.
Résolution
Question 1.
Soit x et deux réels et
un réel de l’intervalle
.
On a :
La
fonction g est convexe sur .
Question 2.
La fonction g est la composée de la fonction ,
deux fois dérivable sur
,
et de la fonction f, également deux fois dérivable sur
.
On a donc :
Puis :
On a alors :
On a retrouvé le fait que la fonction g est convexe
sur .
Si on travaille dans un repère orthogonal, les courbes représentatives des fonctions f et g sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. On en déduit que la symétrie axiale par rapport à cet axe conserve la concavité. Ce n’est pas le cas pour la symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses.