1. Montrer que la
fonction exponentielle est convexe sur ;
Soit n réels strictement positifs.
2. Montrer que l’on a :
3. Montrer que l’on a :
Analyse
Deux jolies inégalités découlant assez simplement de la convexité de la fonction exponentielle.
Résolution
Question 1.
Pour tout réel x, on a : et on en déduit immédiatement :
La
fonction exponentielle est strictement convexe sur .
Question 2.
Pour tous réels strictement positifs, on a :
Puisque la fonction exponentielle est convexe et que les n
réels sont associés à n coefficients strictement
positifs tous égaux à
et dont la somme vaut 1, on peut utiliser
l’inégalité de Jensen et on obtient :
L’inégalité est ainsi démontrée.
Question 3.
On utilise ici le résultat de la question précédente avec
les n réels .
On obtient alors :
Or, on a : et donc :
.
Ainsi, il vient : ,
soit :
.
L’inégalité est ainsi démontrée.