Soit f une fonction
convexe et positive de dans
.
On suppose que la fonction f
s’annule pour deux valeurs a et b ( ).
Montrer que la fonction f
est nulle sur l’intervalle
Analyse
Un résultat assez intuitif que l’on démontre facilement à l’aide de la définition.
Résolution
Soit x un réel de l’intervalle .
Il existe un réel t de
tel que
.
La fonction f étant convexe sur ,
on a :
On a donc : .
Mais la fonction f étant positive, on a aussi :
.
En définitive : et le résultat est valable pour tout réel x
de
ainsi que pour a et b par
hypothèse.
La fonction f est bien nulle sur l’intervalle .
Résultat final
Si
une fonction réelle f de la variable réelle est convexe, positive et
s’annule pour deux valeurs distinctes a et b ( ) alors cette fonction est nulle sur
l’intervalle
.