Un exercice où la fonction « pente » joue un rôle déterminant …

 

 

 

La fonction g étant affine sur , il existe deux réels a et b tels que : . Il vient alors : .

 

Pour tout réel x de , on pose : .

Comme la fonction f est convexe sur , on a (cf. le cours) :

 

 

Mais pour tout réel x de , on a :

 

 

 

On a, par hypothèse : .

On en déduit :

 

·        pour tout x strictement supérieur à 1 :  et donc :  ;

·        pour tout x dans  :  et donc .

 

S’il existait un réel  tel que  (ce réel serait donc différent de 1), alors on aurait  ou  (selon que  est strictement supérieur ou strictement inférieur à 1). Dans les deux cas, on obtient une situation en contradiction avec .

 

Ainsi, pour tout x réel strictement positif, on a : . Les fonctions f et g sont bien égales.

 

 

 

 

On constate que le résultat demeure dès lors que l’hypothèse  est remplacée par  avec .