L’inégalité fournie dans l’énoncé nous conduit, à priori, à revenir à la définition d’une fonction convexe. Certes ! Mais quelle fonction ? C’est ici la principale difficulté et le corrigé ne la fournit pas directement (votre question, légitime, serait alors : mais d’où sort-elle ?). A la place, nous fournissons une démarche où, petit à petit, apparaissent les éléments de la définition d’une fonction convexe dont, in fine, la fonction elle-même dont il ne reste plus à valider qu’elle est effectivement convexe !

 

 

 

 

Pour fixer les idées, nous cherchons à retrouver une inégalité de la forme :

 

 

 

Assez « naturellement », au regard de l’inégalité figurant dans l’énoncé, nous pouvons explorer la piste consistant à poser :  et .

Dans ces conditions, on doit avoir : , c'est-à-dire :

 

 

On a alors :

 

 

 

Ainsi, on a :  puis .

 

Mais alors, le membre de droite de l’égalité demandée peut être récrit :

 

 

 

Ainsi, on est conduit à s’intéresser à la fonction :  définie sur .

 

Elle est dérivable sur  comme produit de deux fonctions dérivables sur cet intervalle et on a immédiatement :

 

 

 

Ainsi, la dérivée de u est strictement croissante sur  comme somme de deux fonctions strictement croissantes sur cet intervalle. On en déduit que u est strictement convexe sur .

 

On a alors :

 

 

 

On a ainsi obtenu l’inégalité cherchée.