Soit E un ensemble et une application de E dans
,
ensemble des parties de E.
Montrer que n’est pas surjective.
(on considèrera la
partie : )
Analyse
Un raisonnement par l’absurde permet rapidement de conclure …
Résolution
Nous allons mener un raisonnement par l’absurde et donc
supposer que l’application est surjective.
Il existe alors un élément a de E tel que .
On peut alors envisager deux possibilités :
- Soit
. Alors, par définition de A,. On obtient une contradiction.
- Soit
. Alors , toujours en utilisant la définition de A, a est un élément de A … Ici encore, on aboutit à une contradiction.
En définitive, l’application n’est pas surjective.
Résultat final
Une application d’un ensemble dans l’ensemble de ses parties, ne peut être surjective.