Soit f, g et h trois applications telles que les applications hogof, gofoh et fohog sont définies.
On suppose que hogof et gofoh sont injectives et que fohog est surjective.
Montrer que les applications f, g et h sont bijectives.
Analyse
On utilise les deux implications classiques suivantes :
gof
surjective g surjective
gof
injective f injective
Résolution
Comme hogof est injective, on en tire immédiatement que f est injective (cf. la deuxième propriété ci-dessus).
Par ailleurs, comme fogoh est surjective, on en tire immédiatement que f est surjective (cf. la première propriété ci-dessus).
De ce qui précède, on tire que l’application f est bijective.
L’application réciproque en tant qu’application bijective est, en
particulier, surjective.
La composée de deux applications surjectives est elle-même surjective.
On en déduit que : est surjective et, de fait, que g est
surjective.
De façon analogue, la composée de deux applications injectives est injective.
On en déduit que : est injective et, de fait, que g est
injective.
De ce qui précède, on tire que l’application g est bijective.
On poursuit le raisonnement de façon similaire à ce qui vient d’être fait mais en travaillant cette fois avec l’application bijective g.
Comme goh et sont surjectives, il en va de même pour :
.
Comme hog et sont injectives, il en va e même pour :
.
En définitive, l’application h est également bijective.
Résultat final
Si f, g et h sont trois applications telles que :
· hogof, gofoh et fohog sont définies ;
· hogof et gofoh sont injectives ;
· fohog est surjective.
Alors f, g et h sont bijectives.