Soit f une application d’un ensemble E dans lui-même.
On note et, pour tout entier naturel n non
nul :
Pour toute partie A de E on
pose alors : et
.
Montrer que B est la plus petite partie stable par f contenant A.
Analyse
Le fait que B contienne A ne pose pas de difficulté
particulière …
On montre ensuite que la partie B est stable par f,
c'est-à-dire : .
On peut alors achever la démonstration en se donnant une partie contenant A et stable par f et en montrant qu’elle contient nécessairement la partie B.
Résolution
La partie contient la partie
.
On a bien :
Soit maintenant un élément x de B.
Comme ,
il existe un entier naturel N tel que
.
On en déduit qu’il existe un élément y de A tel
que : .
Il vient alors : .
On a ainsi établi : .
Soit :
.
La partie B est bien stable par f.
Remarque : on pouvait également procéder comme suit.
On retrouve ainsi le résultat obtenu précédemment.
Nous supposons maintenant qu’il existe une partie stable par f et contenant A.
Nous allons montrer que l’on a : .
On a d’abord, par hypothèse : .
Supposons alors que l’on ait, pour un entier naturel n
quelconque fixé : .
On en tire alors : .
Mais : .
Par ailleurs : par hypothèse sur
.
On a donc : .
La conclusion générale de notre raisonnement par récurrence
est : .
On en déduit alors immédiatement : .
C'est-à-dire :
.
La partie B est bien la plus petite partie de E contenant A et stable par f.
Résultat final
Si f, est une application d’une ensemble E dans lui-même et si A est une partie de E, alors la plus petite partie de E contenant A et stable par f est la partie B définie par :