Un exercice de base très (vraiment très !) classique pour deux résultats à connaître autour de la notion d’image réciproque.

 

 

 

 

Question 1.

 

Dans un premier temps, supposons que B soit vide.

Dans ce cas, on a immédiatement : , puis : .

On a bien  (en l’occurrence, il s’agit ici d’une égalité).

 

Supposons désormais que B soit non vide.

Soit alors x un élément de .

Par définition de l’image réciproque, on a : .

Ainsi, on a : . Soit : .

 

On a bien :

 

 

 

Question 2.

 

Nous établissons deux implications.

 

 

Supposons donc f surjective.

 

Soit B une partie F.

 

Si B est vide, on a vu, à la question précédente que l’on a avait l’égalité cherchée (que l’application f soit, ou non, surjective).

On peut donc supposer ici que B est non vide.

 

Nous allons montrer que l’on a : .

Soit donc y un élément de B (un tel élément existe puisque B est non vide).

L’application f étant surjective, il existe un élément x de E tel que .

Par définition de l’image réciproque, x appartient à . Et comme , on a bien sûr : , c'est-à-dire .

On a donc : . Soit : .

En tenant compte de l’inclusion obtenue à la question précédente, il vient : .

 

 

On suppose donc que l’on a maintenant : .

 

On peut être très efficace en considérant : .

L’égalité ci-dessus se récrit alors : , soit : . Egalité qui traduit la surjectivité de f.

 

On peut aussi procéder plus … classiquement en considérant un élément y de F.

Soit alors .

Par hypothèse, on a : .

On en déduit ainsi que  est non vide, c'est-à-dire qu’il existe un élément x de E tel que .

Le raisonnement étant valable pour un élément y quelconque de F, la surjectivité de f en découle.