Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F.
Soit A une partie de E et B une partie de F.
Simplifier : 
et 
.
Analyse
Encore un exercice classique qui est un très bon entraînement pour maîtriser la notion d’image réciproque. Les résultats obtenus doivent faire réfléchir …
Résolution
On a l’inclusion classique : 
.
On en tire immédiatement, en considérant les images : 
.
Par ailleurs, pour tout x
de 
, on a, par définition de l’image réciproque : 
. On en déduit immédiatement : 
.
En définitive :
On a l’autre inclusion classique : 
.
On en tire immédiatement, en considérant les images
réciproques : 
.
Par ailleurs, on a (cf. ci-dessus) pour toute partie A de
E : .
Avec 
, cette inclusion se récrit : 
.
En définitive :
Résultat final
Si f est une application d’une ensemble E dans un ensemble F et si A et B sont des parties respectivement de E et F alors on a :
et 
Complément
Considérons l’égalité : .
En choisissant 
, il vient immédiatement : 
.
En considérant les images : 
.
On peut alors facilement montrer
par récurrence que pour tout entier naturel n
non nul (cet entier désignant le nombre de fois où l’écriture « 
» apparaît) :
De façon analogue, on établit (cette fois l’entier n désigne le nombre de fois où l’écriture « f » apparaît) :
On prendra garde, comme il se doit, de ne pas confondre
l’écriture « » avec le nom d’une quelconque application …