Soit E un -
espace vectoriel et f et g deux endomorphismes de E.
Montrer que :
Analyse
On peut procéder par double inclusion.
Résolution
Soit y un élément de .
Par définition, il existe un vecteur x de tel que
.
Ainsi, on peu déjà affirmer que y appartient à .
Par ailleurs, comme x appartient à ,
on a :
,
soit :
.
On a donc :
.
Finalement, y appartient à .
On a donc : ,
soit :
.
Soit y un élément de .
Puisque y est un élément de ,
il existe un vecteur x tel que
.
Par ailleurs, y appartenant à ,
on a :
.
On en tire que le vecteur x appartient à .
Comme ,
il vient finalement :
.
On a donc : ,
soit :
.
Résultat final
Pour
tous endomorphismes f et g d’un -espace
vectoriel E, on a :