On peut procéder par double inclusion.

 

 

 

Question 1.

 

Commençons par établir : .

 

Soit donc x un élément de cette intersection.

 

Comme x appartient à , on a, par définition : .

Comme x appartient à , on peut affirmer qu’il existe un vecteur t tel que : .

 

On déduit de ce qui précède : .

 

Il vient alors : .

Mais nous avons, par hypothèse : . On en tire : .

 

Le vecteur x est donc le vecteur nul et on a bien : .

 

 

Il convient maintenant d’établir : .

 

Soit x un vecteur de E. Admettons qu’on puisse l’écrire :  avec  et .

 

On aurait alors : .

 

Comme , il existerait un vecteur t tel que : . On aurait alors :

 

 

 

En composant par g et tenant compte de  :

 

 

 

Le vecteur  est bien un vecteur de  et l’égalité :  donne alors :

 

 

 

Ce vecteur appartient-il à  ?

 

On a, en tenant compte de  :

 

 

 

Le vecteur  appartient bien à .

 

Finalement, pour tout vecteur x de E, on peut écrire :

 

 

 

Avec :  et .

 

On en déduit que E est somme de  et  : .

 

 

Des deux résultats précédents, on tire :

 

 

 

 

Question 2.

 

On a immédiatement l’inclusion : .

 

Soit maintenant y un élément de .

Par définition, il existe un vecteur x tel que : .

En tenant compte de , il vient :

 

 

 

Or, on a : . Donc : .

 

Ainsi, tout vecteur de  appartient à .

 

On a bien la deuxième inclusion : .

 

Des deux inclusions, on tire l’égalité :

 

 

 

 

Remarque : les endomorphismes f et g jouant ici des rôles symétriques, on a également :

 

 et