Soit E, F et G trois -
espaces vectoriels et f et g deux éléments de
et
respectivement.
1. Montrer que et
;
2. Déduire de la
question précédente une condition nécessaire et suffisante pour que
l’application soit injective (respectivement surjective).
3. Montrer que est un isomorphisme de E dans G si, et
seulement si, f est injective, g est surjective et
et
sont deux sous-espaces vectoriels
supplémentaires de F.
Analyse
Des résultats classiques et généraux faisant appel à la notion d’image réciproque et nécessitant quelques résultats sur l’image directe par une application linéaire. Le cœur de l’exercice se situe au niveau de la deuxième question, la première étant préparatoire et la dernière en découlant directement.
Résolution
Question 1.
Pour ce qui est de la première égalité, on peut procéder par équivalence :
D’où l’égalité cherchée.
La deuxième égalité découle immédiatement de la définition de l’image d’une application linéaire. On peut aussi écrire :
Question 2.
L’application linéaire est injective si, et seulement si, le seul
élément de son noyau est le vecteur nul de E. D’après la question précédente,
on a donc :
Or, on a classiquement : .
Donc : .
Mais on a également l’égalité : .
Donc : .
On a ainsi établi :
Réciproquement, si f est injective et si alors
,
soit
et on en déduit d’après l’équivalence
ci-dessus :
injective.
En définitive :
On constate, en particulier, que si f et g
sont toutes deux injectives, les deux conditions sont vérifiées ( ) et la composée
est injective.
L’application linéaire est surjective si, et seulement si, on
a :
.
D’après la question précédente :
.
On a : .
Donc :
.
On a donc : .
Or, on a classiquement : ,
soit, en tenant compte de
:
.
En définitive :
On constate, en particulier, que si f et g
sont toutes deux surjectives, les deux conditions sont vérifiées ( ) et la composée
est surjective.
Question 3.
D’après la question précédente, on a :
Or, on a :
D’où le résultat cherché.
On constate, en particulier, que ces conditions sont vérifiées lorsque f et g sont des isomorphismes.