Soit E et F deux -
espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F.
Soit A et B deux parties de E.
Montrer l’équivalence :
Analyse
On peut procéder par double inclusion.
Résolution
Nous supposons donc ici que l’on a :
.
Soit x un élément quelconque de :
il existe donc un vecteur
de A et un vecteur
de
tels que
.
Il vient alors : .
Or, .
On en déduit qu’il existe un élément
de B tel que
,
c'est-à-dire :
.
D’où :
.
On peut donc écrire : .
Il vient alors : .
Comme et
sont deux éléments de
,
il en va de même pour leur somme et finalement on peut conclure que x est un
élément de
.
On déduit de ce qui précède : .
Symétriquement, on établit la seconde inclusion : .
Finalement, on a bien : et l’implication :
On suppose maintenant que l’on a :
.
Soit y un élément quelconque de .
Il existe donc un élément
de A tel que
.
Mais
.
Il existe donc un vecteur
de B et un vecteur
de
tels que
.
Il vient alors : .
On déduit de ce qui précède : .
Symétriquement, on établit la seconde inclusion : .
Finalement, on a bien : et l’implication :
Résultat final
Pour
toutes parties A et B d’un -espace
vectoriel E et tout application linéaire f de E dans le
-espace
vectoriel F, on a :