Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f et g deux endomorphismes de E.
On suppose que l’on a :
Montrer que les sommes et
sont directes.
Analyse
Ne pas oublier qu’en dimension finie le théorème du rang s’avère souvent très pratique !
Résolution
Dans chaque somme, seuls deux sous-espaces vectoriels (deux noyaux ou deux images) interviennent. Pour montrer que les sommes sont directes, il suffit donc de montrer :
Posons .
Le théorème du rang nous permet d’écrire les deux égalités :
Par ailleurs, on a les résultats généraux :
En tenant compte de
l’hypothèse : ,
ces deux égalités se récrivent :
En les additionnant membre à membre, on obtient :
Soit :
En tenant compte des égalités et
,
il vient alors :
On en tire alors : puis :
.
Soit enfin :
Le résultat est ainsi établi.
Résultat final
Si f et g sont deux endomorphismes d’un espace vectoriel E de dimension finie alors on a :