Ne pas oublier qu’en dimension finie le théorème du rang s’avère souvent très pratique !

 

 

 

Posons .

 

 

Question 1.

 

Le théorème du rang nous donne immédiatement :

 

 

Puisque nous composons g par f, on peut s’intéresser à la restriction de f à . Notons h cette restriction.

 

On a :

.

 

On a aussi :

 

 

Le théorème du rang appliqué à l’application h donne alors :

 

 

Soit :

 

 

L’égalité  se récrit alors :

 

 

Mais le théorème du rang appliqué à  donne :

 

 

On tire alors des deux égalités précédentes :

 

 

Soit :

 

 

Mais comme , on a immédiatement : . Puis : . Soit enfin, en tenant compte de

l’égalité  :

 

 

La première inégalité est ainsi établie.

 

 

 

Question 2.

 

On considère dans cette question la composée .

 

Puisque nous composons f par g, on peut s’intéresser à la restriction de g à . Notons h cette restriction.

 

En raisonnant comme à la question précédente, on a :

.

 

On a aussi :

 

 

Le théorème du rang appliqué à h donne alors :

 

 

Soit :

 

 

Finalement :

 

 

Le résultat est ainsi établi.

 

 

 

Question 3.

 

Réutilisons le résultat de la question précédente en permutant f et g :

 

 

On en tire immédiatement :

 

 

 

Comme , on a immédiatement : .

On en déduit alors : . C'est-à-dire :

 

 

De  et  on tire immédiatement :

 

 

 

Par ailleurs, on a :

 

 

Soit :

 

 

Les inégalités  et  donnent immédiatement le résultat cherché :