Soit E et F deux espaces vectoriels et h une application linéaire de E dans F.
Soit alors f l’application de dans
définie par :
Montrer que f est un automorphisme de .
Analyse
L’exercice ne présente pas de difficulté particulière et est une application directe du cours. Pour établir la bijectivité de f, il n’est pas nécessaire d’en établir l’injectivité …
Résolution
En guise de préambule, rappelons
que, E et F étant des espace vectoriels,
se trouve lui-même muni d’un structure
d’espace vectoriel sur le corps
avec :
· La loi de composition interne définie par :
· La loi de composition externe définie par :
Dans un premier temps, établissons la linéarité de f.
Pour tous couples et
dans
et tous scalaires α et
dans
,
on a, en tenant compte de la linéarité de h :
L’application f est bien linéaire.
Etudions maintenant la surjectivité de f.
Soit un élément de
.
On cherche s’il existe un couple dans
tel que
.
On a les équivalences :
On en conclut que non seulement le couple cherché existe mais qu’il est, de surcroît,
unique. L’application f est donc
bijective.
L’application f
étant linéaire et bijective de l’espace vectoriel dans lui-même, il s’agit donc d’un
automorphisme de
.