Pour ce qui est de la première égalité, il s’agit de comparer deux ensembles fermés.

On peut procéder par double inclusion. L’une (  ) est assez simple à établir. On constate alors que l’on n’a pas utilisé le fait que U était un ouvert … Ce constat nous met sur la piste pour démontrer la seconde inclusion.

La deuxième égalité se démontre de façon analogue ou en utilisant le fait que le complémentaire du fermé V est un ouvert …

 

 

 

 

 est l’intérieur de . On a donc : . On en tire alors, en considérant les adhérences associées : . En tenant compte de : , il vient alors : .

Une première inclusion est ainsi établie.

 

On constate que l’on n’a pas utilisé l’hypothèse « U ouvert » qui équivaut à : . Or, on peut facilement comparer les ouverts  et  …

 

On a immédiatement : . On en tire alors, en considérant les ouverts associés : . Comme , il vient : , puis, en considérant les fermés associés : .

La deuxième inclusion est ainsi établie.

 

 

On procède de façon analogue pour établir le deuxième résultat :

 

 est l’adhérence de . On a donc : . On en tire alors, en considérant les intérieurs associés : . En tenant compte de , il vient alors : .

 

Par ailleurs, on a classiquement : . On en tire alors, en considérant les adhérences associées : . Comme , il vient : , puis, en considérant les intérieurs associés : .

Les deux inclusions nous donnent l’égalité demandée.

 

 

Si on note que le complémentaire  du fermé V est un ouvert, on peut lui appliquer la première égalité et on obtient :

 

 

On a alors :