Déterminer les racines
quatrièmes de 
.
Analyse
L’exercice consiste en fait à résoudre l’équation : .
L’approche « classique » consiste à résoudre cette équation en
posant : ,
r (module) et (argument) étant les deux inconnues à
déterminer.
On peut cependant ici avoir recours aux polynômes en
considérant le polynôme et en menant sa factorisation sur puisque l’exercice revient en fait à en
trouver les racines. Cette « méthode » est fournie à titre indicatif
car, en général, elle n’est pas la plus simple à mettre en œuvre.
Résolution
1ère approche : la méthode classique
Nous posons donc : et considérons l’équation .
Elle se récrit : ,
soit : .
On en tire alors le système :
k étant un entier relatif.
Il vient :
Pour ,
1, 2 et 3, on obtient quatre valeurs de fournissant les quatre racines
cherchées :
:
:
:
:
Les racines quatrièmes de 4
sont donc : ,
,
et .
2ème approche : factorisation du polynôme P
Soit donc le polynôme dont on cherche la factorisation sur le corps
des complexes.
On a d’abord : .
Soit donc les polynômes et .
On en extrait facilement les racines en écrivant par
exemple :
La factorisation de nous fournit deux racines : et .
On factorise de façon analogue et on obtient : .
On en tire alors deux nouvelles racines : et .
On a retrouvé les quatre racines obtenues précédemment.
Résultat final