L’exercice ne pose pas de difficulté particulière. On peut, par exemple, commencer par résoudre une équation du second degré …

 

 

 

On a : .

 

D’où :

 

 

 

Nous sommes ainsi ramenés à la résolution de deux équations du deuxième degré.

 

Nous aurions obtenu le même résultat en introduisant la nouvelle variable : , l’équation se récrivant alors :  et fournissant les deux racines :  et .

 

Commençons donc par résoudre :  

 

Cette équation du second degré revient à déterminer les deux racines carrées complexes de .

 

On a :

 

 

 

Pour  et , on obtient les deux racines cherchées.

 

 

 

Et :

 

 

 

Remarque : en réalité, un seul calcul suffit puisque l’on sait devoir trouver deux racines opposées …

 

Résolvons maintenant : .

 

Nous pouvons procéder de façon analogue à ce qui vient d’être fait (les calculs sont fournis ci-dessous). Pour autant, nous pouvons aussi directement faire référence à un résultat du cours sur les polynômes. Si nous considérons le polynôme  dans , nous savons qu’il admet quatre racines complexes conjuguées puisque ses coefficients sont réels. Ainsi, ayant obtenu  et  comme solutions de l’équation, c’est à dire comme racine de P, nous en déduisons que les deux autres sont :  et .

 

 

 

Pour  et , on obtient les deux racines cherchées.

 

 

Et :