On dispose de formules simples permettant d’exprimer  et  en fonction de . Pour autant, une telle approche conduit in fine à une équation du troisième degré délicate et ne présentant pas de racine simple.

Il est nettement préférable ici de revenir à la définition complexe de la fonction cosinus et de transformer ainsi le produit  en une somme.

 

 

 

On part donc de : ,  et .

 

Il vient alors :

 

 

Le terme de gauche a ainsi été transformé en une somme de cosinus dont les arguments suivent une progression arithmétique.

On peut d’ailleurs montrer que l’on a, plus généralement : .

 

Pour a et h réels avec , on dispose de la formule générale suivante :

 

 

En l’utilisant avec : , on obtient :

 

 (1)

 

On doit faire ici deux remarques :

 

1. D’une part, cette transformation de la somme n’est valable que pour
   
    (
   
    ). Pour
   
   , on a :
   
    et l’équation (E) est donc vérifiée.

A partir de maintenant, on va donc chercher les solutions de (E) qui ne sont pas de la forme  et utiliser le résultat intermédiaire précédent.

 

2. Nous pouvions, à partir du produit
   
    parvenir à l’égalité (1) sans avoir recours aux exponentielles complexes :

Pour , on a, en effet :

 

 

 

Le « défaut » de cette approche apparaît dans le cas plus général d’un produit quelconque de cosinus (voir plus loin).

 

 

Nous transformons L’égalité (1) en utilisant :

 

 

 

Il vient alors :

 

 

 

L’équation (E) se récrit finalement :

 

 

 

Cette dernier inégalité peut être rendue équivalente à :  pour peu que nous réintégrions les valeurs de x de la forme . C’est ce que nous faisons.

 

Soit donc à résoudre : .

 

Si x est solution alors  est également solution (périodicité du sinus). On peut donc se contenter de rechercher les solutions sur l’intervalle .

 

De façon analogue, si x est solution alors  est également solution puisque . On peut donc encore restreindre l’intervalle de recherche en ne considérant que .

 

Sur , la fonction sinus prend des valeurs positives.

 

En revanche, on aura :

 

 

 

Les valeurs de k telles que  sont : 0, 1, 2 et 3 qui fournissent les intervalles suivants : , ,  et .

 

Au regard des remarques faites précédemment, on en déduit que les intervalles solutions sont, pour  :

 

, , , , , , et  

 

En translatant ensuite chacun de ces intervalles de  (  ) et en notant que :

 

 

 

 

 

on obtient finalement :

 

 

 

 

 

Nous reprenons l’inégalité initiale : .

 

Cette fois, nous allons exprimer les cosinus multiples en fonction de  :

 

 et  

 

En posant alors , l’inégalité se récrit :

 

 

 

Considérons alors le polynôme factorisé :  et la fonction polynôme associée : .

 

Comme , seules ses variations sur  sont à prendre en compte.

 

Les trois valeurs annulant P (0,  et  ) appartiennent à cet intervalle et on trouve aisément que la dérivée P’ s’annule pour :  et .

 

Sur l’intervalle , on a  et le maximum est obtenu pour .

On trouve alors : .

On en tire alors : .

 

Sur l’intervalle , on a .

 

Sur l’intervalle , on a  et la fonction polynôme P y est strictement croissante. Or  et . Donc : .

 

Nous allons voir comment les intervalles obtenu précédemment vont nous permettre de déterminer facilement les trois réels ,  et .

 

On considère donc les intervalles : ,  et  (ils suffisent du fait de la parité du cosinus).

 

Pour , on a  et donc : .

 

Pour , on a  et donc : .

 

Pour , on a  et donc : . Mais en tenant compte de , la dernière inégalité se récrit : . Elle est donc identique à celle, obtenue pour l’intervalle .

 

En d’autres termes, nous disposons des deux inégalités :

 

 et  

 

Elles nous fournissent directement les valeurs cherchées de ,  et  :

 

,  et  

 

A titre indicatif, nous en fournissons les valeurs numériques approchées :

 

,  et  

 

 

 

On part cette fois de l’équation suivante :

 

 (E)

 

En procédant comme ci-dessus, on la récrit comme suit :

 

 

 

On utilise alors, pour , l’égalité ci-dessous avec  :

 

 

 

On a donc :

 

 

 

L’équation à résoudre se récrit alors : .

 

Soit, finalement, en réintégrant les valeurs de x de la forme  :

 

 

 

Du fait du facteur impair de x dans le premier sinus, la discussion est identique à ce qui a été fait plus haut et on a finalement :