Dans un premier temps, il convient de traduire l’hypothèse . La deuxième somme requiert une discussion. On effectue ensuite les deux calculs simultanément en introduisant la somme complexe : .

 

 

 

On a : .

 

On note, par ailleurs, que si  avec p entier relatif, on a :  pour toute valeur de l’entier k. Dans ce cas particulier, on a : .

 

Que vaut alors U ?

 

Pour , on a :

 

et

 

 

Soit : .

 

Et finalement : .

 

 

Pour les calculs qui suivent, on va donc supposer :  et , soit, en définitive : .

 

Soit donc :

 

 

 

On est ainsi ramené au calcul de la somme des  premiers termes d’une suite géométrique complexe de raison : . On note que pour , la raison est un réel (elle vaut 1 et on retrouve immédiatement les valeurs particulières de U et V obtenues dans ce cas).

 

Une telle sommation est connue et on obtient :

 

 

 

 

Il vient donc, finalement, pour  :

 

 et