En montrant que les solutions non nulles de (E) vérifient , on peut chercher les solutions de (E) sous la forme d’exponentielles complexes qui se manipulent aisément.

On remarque que  est solution évidente de (E) dans . L’objectif de cet exercice est donc de déterminer les autres solutions de (E) …

 

 

 

Soit z un complexe non nul solution de (E).

 

L’équation de (E) est équivalente à , soit, en considérant les modules :

 

 

 

Or on a :  et .

 

On a donc, en utilisant les propriétés du module :

 

 

 

Comme nous recherchons  et que le module est une grandeur positive, la dernière égalité est équivalente à :

 

 

 

Ayant établi que le module des éventuelles solutions non nulles de (E) était égal à 1, nous pouvons poser : , l’argument  devenant la nouvelle inconnue.

 

On a alors :  et .

 

En écrivant :

 

 

on obtient :

 

 

 

où .

 

On en tire : .

 

Pour , on obtient les quatre solutions distinctes suivantes :

 

• 
  
   
  
   
  
   ;
• 
  
   
  
   
  
   ;
• 
  
   
  
   
  
   ;
• 
  
   
  
   
  
   ;