L’exercice peut être traité de diverses façons. Nous proposons ici trois approches : une approche géométrique (les modules sont identifiés à des distances dans le plan complexe), une approche algébrique et une approche utilisant l’exponentielle complexe.

En guise de préambule, on a tout intérêt à souligner et exploiter une certaine symétrie de l’équation.

 

 

 

Préambule

 

On note d’abord que . Comme , on en tire : .

En d’autres termes : toute solution de (E) a sa partie réelle positive. La représentation dans le plan complexe de l’ensemble des solutions de (E) est donc incluse dans le demi-plan d’équation .

 

Par ailleurs, en supposant que z est solution de (E), on a :

 

.

 

En d’autres termes, la représentation dans le plan complexe de l’ensemble des solutions de (E) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

 

Ces deux résultats ne nous fournissent pas la solution du problème. En revanche, ils constituent d’importantes indications quant aux propriétés de l’ensemble des solutions de l’équation et, de fait, des éléments de vérification intéressants.

 

 

1^ère approche : approche géométrique

 

On considère, dans le plan complexe, le point M d’affixe z (qui est également l’affixe du vecteur  ) et le point  d’affixe  (qui est également l’affixe du vecteur  ).

 

Dans ces conditions,  est l’affixe du vecteur  (voir figure ci-après). z et  étant conjugués, N est un point se situant sur l’axe des abscisses.

 

 

L’équation (E) entraîne alors :

 

 

 

Or, , on en tire donc que si z est solution de (E) alors le triangle OMN est équilatéral (voir la figure ci-dessous) :

 

 

 

Le triangle OMN étant équilatéral, l’angle  admet comme mesure principale . De façon similaire, l’angle  admet comme mesure principale .

 

L’équation  nous fournit donc les deux droites passant par l’origine et formant avec l’axe des abscisses des angles de mesure  et .

 

Comme on doit avoir , on en déduit finalement que la représentation de l’ensemble des solutions de (E) est formée, dans le plan complexe, des deux demi-droites issues de l’origine, formant avec l’axe des abscisses des angles de mesure  et  et appartenant au demi-plan d’équation .

 

 

 

 

2^ème approche : approche analytique

 

Ici, on pose .

 

On a alors  et . D’où :

 

 

 

On a alors les équivalences suivantes :

 

 

 

L’égalité  nous donne les deux droites d’équations respectives :  et . La contrainte  nous conduit alors à ne retenir, à partir des droites précédentes, que les deux demi-droites issues de l’origine.

 

 

3^ème approche : utilisation de l’exponentielle complexe

 

Nous posons ici :  avec .

 

Dans ces conditions, on a :  et .

 

Il vient alors :

 

 

 

La première possibilité, , nous fournit le complexe nul comme solution.

La seconde possibilité nous donne :  et les solutions de la forme :

 

 avec  

 

On retrouve les demi-droites obtenues précédemment.