L’exercice peut être traité de diverses façons. Nous proposons ici deux approches : une approche algébrique et une approche utilisant l’exponentielle complexe.

En guise de préambule, on a tout intérêt à souligner et exploiter une certaine symétrie de l’équation.

 

 

 

Préambule

 

En supposant que z est solution de (E), on a :

 

.

 

En d’autres termes, si z est solution de (E) alors  est également solution de (E).

 

Ce résultat nous permet de valider (partiellement) les solutions obtenues.

 

 

1^ère approche : approche algébrique

 

On pose : .

 

On a alors :  et .

 

Il vient alors :

 

 

 

La seconde égalité nous conduit à distinguer deux cas de figure.

 

1^er cas :  

 

La deuxième égalité du système nous donne : , soit : .

La première égalité nous donne alors :

 

 

 

On obtient ainsi les deux solutions suivantes :

 

 

 

On note que ces deux solutions sont conjuguées.

 

 

2^ème cas :  

 

Dans ce cas, la première égalité du système donne :

 

 

 

On obtient ainsi les deux solutions réelles (chacune étant égale à sa conjuguée) :

 

 

 

Finalement, l’ensemble S des solutions de (E) s’écrit :

 

 

 

 

2^ème approche : utilisation de l’exponentielle complexe

 

On pose ici :  avec .

 

On a alors :  et .

 

L’équation (E) se récrit alors :

 

 

 

 

La première égalité nous conduit à distinguer deux cas.

 

1^er cas :  

 

On obtient la solution : .

 

2^ème cas :  

 

Dans ce cas, la deuxième égalité du système, , nous fournit trois solutions distinctes :

 

• 
  
   donne
  
  , soit :
  
   ;
• 
  
   donne
  
  , soit :
  
   ;
• 
  
   donne
  
  , soit :
  
   ;

 

On retrouve ainsi l’ensemble des solutions précédemment obtenues.

 

 

On note que les trois solutions ,  et  correspondent aux racines troisièmes de l’unité.

Ceci provient du fait que : . Pour , cette dernière équation consiste à trouver les racines troisièmes de 1.