On commence par déterminer la racine réelle.

Une factorisation de l’expression  permet alors de se ramener à une équation du second degré.

 

 

 

Notons .

Notons  la racine réelle de l’équation considérée. On a donc .

C’est à dire : .

 étant réel, nous pouvons faire apparaître la partie réelle et la partie imaginaire du membre de gauche :

 

 

La partie imaginaire étant nulle, on résout : . Soit : .

Cette dernière équation admet comme solutions 0 et .

Or, 0 n’annule pas la partie réelle  (on constate également que l’on a :  ).

On en déduit que la solution réelle de l’équation  est .

 

A partir du résultat précédent et sachant que le coefficient de  du polynôme P est égal à 1, on peut le factoriser sous la forme :

 

Où a et b sont deux complexes à déterminer.

 

En développant, on obtient : .

Or, .

Par identification, on obtient le système :

 

 

 

La première ligne donne immédiatement : . La dernière donne : .

On constate alors que la seconde égalité est vérifiée.

D’où, finalement :

 

 

On va maintenant résoudre : .

Le discriminant vaut : . D’où les racines complexes :

 et  

 

Finalement :  et l’équation admet comme solutions : ,  et .