Pour tout réel a et tout entier naturel n non nul on pose :
Calculer et
(on pourra poser
).
Analyse
Un calcul très classique. La suggestion permet de faire apparaître une somme de termes d’une suite géométrique. Mais … attention au cas particulier !
Résolution
Comme suggéré, nous posons : .
Il vient alors :
Cette somme est une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de
raison
qui peut être égale à 1.
On doit donc distinguer deux cas :
Si
(
)
Dans ce cas, et on a simplement :
.
On en tire immédiatement :
Si
(
)
Dans ce cas, et on peut utiliser la formule
classique :
On obtient ici :
Pour pouvoir facilement exprimer et
,
on fait apparaître des sinus au numérateur et au dénominateur en factorisant
par les exponentielles d’argument moitié :
Il vient alors immédiatement :
Résultat final
Pour tout réel a et tout entier naturel n non nul, on a :
Si
(
)
et
Si
(
)
et