Soit z un complexe. On définit :

 

 

 

1.    Pour quelles valeurs de z, le complexe Z est-il défini ?

2.    Déterminer  et  en fonction de  et  ;

3.    Pour quelles valeurs de z, le complexe Z est-il réel ? Imaginaire pur ? (on donnera une interprétation géométrique des résultats obtenus)

 

 

 

 

Analyse

 

Un calcul très classique. La suggestion permet de faire apparaître une somme de termes d’une suite géométrique. Mais … attention au cas particulier !

 

 

Résolution

 

1.      La présence de l’inverse  au dénominateur impose d’emblée .

Ensuite, Z sera défini si le dénominateur est non nul, c'est-à-dire pour tout complexe z non nul tel que . Or, dans  : .

Finalement, Z est défini pour tout z différent de 0 et .

 

Z est défini pour tout z dans .

 

 

2.      Posons : .

 

On a :  et . Il convient donc d’évaluer .

 

 

En tenant compte de : , il vient :

 

 

 

Or,  et . On a donc :

 

 

 

 

 

De façon similaire, on a :

 

 

 

 

 

 

3.      En raisonnant dans , on a :

 

Z réel  z réel

 

Géométriquement, on obtient dans le plan complexe l’axe des abscisses privé des points d’abscisse  et 0.

 

Par ailleurs :

 

Z imaginaire pur  

 

Or, on a : .

Il vient alors : .

 

L’équation  est celle, dans le plan complexe, du cercle de centre  et de rayon . Les points de coordonnées  et  (correspondant au fait au point d’intersection du cercle et de l’axe des abscisses) sont à exclure. On obtient donc finalement le cercle de centre  et de rayon  privé des points de coordonnées  et  (c'est-à-dire deux demi-cercles ouverts symétriques par rapport à l’axe des abscisses).

 

Finalement :