On peut procéder de diverses façons : soit en travaillant avec la forme algébrique du complexe z, soit en manipulant des arguments. Nous développons ces deux approches.

 

 

 

1^ère approche

 

Les deux arguments sont définis dès lors que l’on a :  et . On cherche donc les solutions dans .

 

On a : .

 

Cette deuxième égalité équivaut à écrire que le complexe  est un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive.

 

Posons alors : . Il vient :

 

 

 

On a alors :

 

 

 

Or, . On a donc :

 

 

L’équation  est celle du cercle de centre  et de rayon .

Un tel cercle est la réunion de deux demi-cercles : le premier, d’équation , situé au-dessus de l’axe des abscisses (les extrémités de coordonnées  et  étant situées sur l’axe des abscisses) ; le second, d’équation , situé sous l’axe des abscisses (ses extrémités sont les mêmes que celles de l’autre demi-cercle).

 

Comme on veut : , on ne retient que le second demi-cercle à l’exclusion de ses extrémités.

 

 

2^ème approche

 

On utilise . On a alors :

 

 

 

Introduisons alors le point A d’affixe égale à 1. On a :  et, de fait :

 

 

 

On en déduit que le triangle (M est différent des points O et A) AOM est rectangle en M. Le point M appartient donc au cercle de diamètre  privé des points O et A. Comme A est situé, sur l’axe des abscisses, à droite de O et que l’on a :

 

 

 

on en déduit que le point M appartient au demi-cercle de diamètre  privé de ses extrémités et situé sous la droite  (voir la figure ci-dessous), c'est-à-dire l’axe des abscisses.

 

On a ainsi retrouvé le résultat établi précédemment.