Soit A et B deux points du plan d’affixes respectives a
et b ( ).
Soit M un point d’affixe z.
Déterminer l’affixe de
,
symétrique orthogonal de M par rapport à la droite
.
Analyse
Un exercice très classique … application directe du cours. Il convient de reprendre la définition du symétrique orthogonal d’un point par rapport à une droite (pensez à la notion de médiatrice …) puis d’en tirer
Résolution
On a, par définition :
symétrique de M par rapport à
est la médiatrice du segment
.
Appelons alors I le milieu du segment .
Par définition de la médiatrice, on a :
médiatrice du segment
coupe
perpendiculairement en I.
Soit encore :
médiatrice du segment
Enfin :
médiatrice du segment
L’affixe du point I vaut : .
On a alors :
En utilisant les propriétés de la conjugaison, on obtient alors :
On a par ailleurs :
On dispose finalement du système :
En additionnant ces deux égalités membre à membre, on obtient immédiatement :
Soit, finalement :
Résultat final
Le
point symétrique de M, d’affixe z, par
rapport à la droite
(A et B étant des points d’affixes respectives
a et b) a pour affixe :