Encore un exercice classique, application directe du cours, qui conduit à exploiter la caractérisation fondamentale du centre du cercle circonscrite d’un triangle.

 

 

 

On a, par définition :

 

 est le point d’intersection des médiatrices des segments ,  et .

 

Nous allons dans un premier temps utiliser le fait que le point  appartient à la médiatrice du segment .

Appelons I le milieu du segment . Par définition de la médiatrice, on a :

 

Le point  appartient à la médiatrice du segment  si, et seulement si, les droites  et  sont perpendiculaires.

 

Soit :

 

 

 

L’affixe du point I vaut : .

 

On a alors :

 

 

 

En procédant de façon similaire avec le segment , on obtient une deuxième égalité (il suffit, formellement, de remplacer « b » par « c » dans l’égalité obtenue ci-dessus) :

 

 

 

On dispose finalement du système :

 

 

 

Puisque c’est le complexe  qui nous intéresse, on procède par combinaison pour éliminer  :

 

 

 

Soit :

 

 

 

On peut alors écrire :

 

 

 

On montre facilement (raisonnez sur l’angle  ) que l’on a :

 

A, B et C alignés  

 

On a donc finalement :

 

 

 

On pourra également reprendre le numérateur et obtenir une nouvelle écriture, encore très élégante de part sa symétrie :